關於Cobb-Douglas函數的思考： Web3 的實用原型

圖網絡使用Cobb-Douglas函數來激勵索引器行爲。Cobb-Douglas歷史上在經驗經濟學和理論經濟學中都有廣泛的應用。由於大多數索引者都具有計算機科學背景而不是經濟學背景，因此他們通常需要了解所有這些在基礎層麵上如何運作的背景知識。

這是對Cobb-Douglas函數的介紹。此外，就像任何其他工具一樣，此功能也存在重要的限製和權衡。我們歡迎 The Graph 社區的意見，以不斷改進。

通過這篇文章，我的目標是：

1. 曏現有和潛在的索引器提供有關此功能的背景信息
2. 作爲 The Graph 代幣經濟學的部分重新引入
3. 介紹併討論Cobb-Douglas作爲工作代幣的原語
4. 邀請您，讀者，討論未來的改進

Cobb-Douglas函數是 web3 中經常使用的術語，但對其用戶來説通常是不透明的。它是經濟學中的一個主要函數。隨著它的採用0x,圖錶， 和金翅雀，它正在成爲代幣經濟學的一種原始形式。我將提供有關此函數的一些背景知識，首先介紹其工作原理的簡化版本，然後稍微深入地了解其屬性。重要的是要預先註意，還有其他功能形式可能具有相衕的目的，這些形式也值得在未來探索。

目録

• 第 1 部分：什麽是Cobb-Douglas函數
• 第 2 部分：圖譜對Cobb-Douglas函數的採用：代幣經濟學基礎知識
• 第 3 部分：圖錶對Cobb-Douglas函數的採用：設計機製
• 第 4 部分：圖對Cobb-Douglas函數的採用：α 繫數
• 第 5 部分：優化Cobb-Douglas函數
• 資源

第 1 部分：什麽是Cobb-Douglas函數

一個基本的解釋

在基礎層麵上，Cobb-Douglas函數的目標是爲虛擬所有者-用戶市場找到激勵機製。想象一下出租車牌照被代幣化的世界：司機擁有代幣，這使他們有權在平颱上工作。我們如何找到一種使使用和所有權保持一緻的機製？

Cobb-Douglas函數提供了這樣的機製。本質上，它給出了輸入（質押和查詢費用）與輸出（查詢費用回扣）之間的數學關繫。

Cobb-Douglas行動的一個很好的例子是The Graph 的工作代幣模型。

稍微技術性一點的解釋

該函數的最早形式是生産函數（Cobb-Douglas生産函數）。科布和道格拉斯模擬了資本和勞動力最終如何對最終産品（生産）做出貢獻。它看起來像這樣：

在哪裡：

• 産出 P 是勞動力 (L) 和資本 (C) 的函數，
• b是全要素生産率。

這雖然拗口，但卻描述了勞動力和資本這兩種生産要素如何相互作用。換句話説，如果勞動力和資本是投入的兩個要素，那麽這兩個因素對産出的貢獻各有多大？

盡管它是函數的原始形式，但該函數獨特的數學屬性很快使其成爲各種經濟分析情況的有用工具。它演變成了一種通用形式：

α1、α2、α3 …和 αn 是正數，但不必總和爲 1（取決於用例）。與原來的資本/勞動力形式相比，這種通用形式可以有任意數量的引用任何成分的輸入。就像煉金術一樣，你將一些輸入（例如，銅、鐵、吉爾伽美什的一頁）放入函數中，它可以給出輸出（希望是金子！）。

Cobb-Douglas生産函數就像煉金術：輸入→輸出。 藝術創作者 穩定擴散。

由於該函數現在具有通用形式，因此它既用於生産者理論（作爲生産函數）和消費者理論（作爲效用函數）。當它用作生産函數時，就像測量煉金術的結果一樣。例如，根據Cobb-Douglas函數，理性的生産商將能夠確定使用多少銅。

當它被用作效用函數時，它衡量消費者在各種選擇之間的權衡。我應該購買更多 CryptoPunk 還是 Bored Apes？

由於它衕時符合消費者理論和生産者理論，該函數自然成爲應用一般均衡分析的主要內容，該分析試圖找到供給（生産者理論）和需求（消費者理論）之間的市場出清點。

總之，您將在各種上下文中看到Cobb-Douglas函數。如果用於生産者分析，則它可以是生産函數；如果用於消費者分析，則可以是效用函數。形式（決定數學屬性）相似，但變量的定義在每種情況下都會不衕。

消費者公用事業。藝術創作者 穩定擴散。

第 2 部分：圖譜對Cobb-Douglas函數的採用：代幣經濟學基礎知識

The Graph 使用權益賺取模型。協議參與者需要抵押他們的代幣來保護網絡。權益賺取的一個具體案例是工作代幣模型，由占蔔師 和別的。

工作代幣模型的工作原理如下：

• 網絡中的服務提供商必鬚投入代幣才能穫得爲網絡執行服務的權利。
• 他們執行的服務量應該與他們在網絡上質押的代幣數量成正比。

它類似於出租車牌照市場，牌照賦予出租車司機在市場上經營的權利。在出租車市場，司機購買牌照才能在城市運營。這些獎章是可以轉讓的，甚至還有專門的金融服務爲司機提供獎章貸款，以便他們可以從其他玩家那裡購買獎章。

當當地出租車市場因人口增長等原因而增長時，二級市場上的牌照交易就會升值。當市場遇到周期性或結構性問題（例如優步的進入）時，獎章的價值就會下降。有一個自我平衡機製。

The Graph 可以被認爲是一個虛擬化的徽章繫統，其中 GRT 的作用是在平颱上提供服務的權利。

與獎章類似，GRT 僅按照協議上執行的工作水平和採購的服務（查詢費用）的比例進行購買。如果您有兩名司機，您將穫得一枚獎章（假設一天兩班）。如果您有 6 名駕駛員，則應該選擇 3 名。

該模型的主要挑戰是在質押代幣和執行的工作之間建立可靠的關繫。理想情況下，隨著網絡中執行更多查詢，質押的代幣數量應該增加。用出租車來比喻，你不希望人們坐在牌照上而不去上班！

人們購買牌照是因爲他們想通過將乘客從A點帶到B點來謀生，這是牌照賦予的權利。

工作代幣模型遵循大獎章市場。 藝術創作者 穩定擴散。

該圖可以強製執行這種數字關繫，但剛性可能會導緻幾個問題：

1. 限製了較小的質押者可以執行的工作量，這不利於網絡的增長
2. 要求建立一種機製，迫使大型權益持有者在他們不願意的時候執行工作（或剝離他們的權益），這在鏈上協調起來可能相當覆雜。 （拉米雷斯 2019）

換句話説，The Graph 的設計原則是索引器應該可以自由地服務任意數量的查詢，無論其權益如何。再次使用獎章類比，當人們感覺不舒服時，不應該強迫他們工作，即使他們是一個大獎章的擁有者。Cobb-Douglas的想法是創建一種激勵機製，使工作在經濟上更加合理，而不強迫人們這樣做。

第 3 部分：圖錶對Cobb-Douglas函數的採用：設計機製

Edge & Node 聯合創始人兼首席執行官 Brandon Ramirez 錶示，The Graph 對 Cobb-Douglas 的使用受到 0x 採用的啟髮。 （Bandeali 等人，2019 年；拉米雷斯，2019 年）

它想要解決的問題是：我們如何設計一個繫統，讓用戶成爲所有者，併且他們擁有與其使用量相關的適當數量的 GRT？

該協議預計 GRT 所有者將其代幣質押在合約中，併積極參與協議治理。在某種程度上，這就像在虛擬市場中設計合作社和互助社。Cobb-Douglas法是一種平衡所有權和效用雙重使命的機製。

設計虛擬合作模式。藝術創作者 穩定擴散。

從較高的層麵來看，該機製看起來是這樣的：查詢費用將首先進入互助池（返利池）。在此期間結束時，協議使用Cobb-Douglas公式來計算每個索引器在共衕池中的份額。份額基於他們質押的 GRT 金額和他們執行的工作量（查詢費用）。

函數錶達如下：

在哪裡：

• 獎勵是單個索引器可收取的費用，
• TotalRewards 是一個時期內所有索引器的總費用（一個時期目前爲 6,646 個區塊，或以太坊合併後約 22 小時）。它由EpochManager合約),
• FeeRatio = 歸屬於質押池的費用 / 所有穫得獎勵的池收取的總費用，
• 權益比率 = 歸屬於質押池的權益 / 穫得獎勵的所有權益池的總權益，
• α 是Cobb-Douglas繫數（在Cobb-Douglas論文中最初命名爲 k）。

我們可以很容易地看出上麵的函數和函數的原始形式之間的相似之處：

除了這裡我們有兩個變量feeRatio和stakeRatio。該功能旨在解決質押 GRT（資本，旨在提供經濟安全）和查詢費用（勞動力，用於提供查詢服務的獎勵）之間的分配問題。

在沒有Cobb-Douglas的世界中，一旦索引器提供了查詢，他們就會收取所提供的查詢費用。我們稱之爲“你吃什麽，你殺什麽”模型。

“你吃你殺的東西”。藝術創作者 穩定擴散。

在Cobb-Douglas的世界中，一旦索引器提供了查詢服務，查詢費用就會進入共衕池。索引器在池中的最終份額取決於他們質押的金額和他們服務的查詢量。

一個明顯的問題是：是否存在相對於所服務費用的最佳權益數量，可以使索引者的利潤最大化？

我們可以使用一個稱爲質押強度的指標來描述這個問題：

它是相對於索引器所提供費用的質押 GRT 金額。因此，上述問題可以改寫爲：索引器是否存在最佳質押強度？

目前對此問題的共識有限。一所學校認爲不存在最佳的賭註強度。人們沒有動力去增加回扣池的總體規模；他們隻會被激勵去增加自己的份額，這意味著他們總是會投入更多。

另一學派認爲存在最佳的賭註強度。原因是質押存在隱性資本成本。質押超額 GRT 所賺取的費用將低於其替代品。

有哪些替代方案？一種選擇是委托給質押不足的其他索引器（質押強度 < 1）。換句話説，借出這些代幣的資本邊際生産率高於自我質押。

另一種思考方式是Cobb-Douglas函數所暗示的資本邊際生産率遞減。雖然它總是積極的（即投入更多的資本總是會穫得更多的回報），但邊際效益會隨著投入更多的資本而減少。最好將資本用於其他地方以穫得更高的回報。

直觀上，最佳選擇是相對於它們所服務的查詢投入相衕數量的 GRT。換句話説，當feeRatio=stakeRatio（即stakeIntensity=1）時，索引器得到的正是他們在“你吃什麽你殺什麽”的世界中得到的。在這種狀態下，不存在效率低下的情況。

質押和獎勵之間的黑白決定（也許）。藝術創作者 穩定擴散。

這是Cobb-Douglas函數所期望的查詢費用市場的理想均衡狀態。換句話説，從長遠來看，在其他條件相衕的情況下，索引器應該分配相當於它們産生的查詢費用份額的股權比例。

從經驗上講，第一種思想（即不存在最佳質押強度）目前是正確的，原因我們將在第 5 部分中討論。我們還將討論在該功能的實際實現中遇到的一些問題。

第 4 部分：圖對Cobb-Douglas函數的採用：α 繫數

除了 stakeIntensity 之外，指數 α 和 (1-α) 也是重要的變量。它們被稱爲生産函數的要素份額：它們決定了這個查詢費用生産市場中資本（質押的 GRT）和勞動力（查詢費用）的份額。

請註意，指數加起來爲 1：α + (1-α) = 1。這稱爲“常數回歸比例”。這意味著，如果我們將feeRatio和stakeRatio都增加一定的百分比，則索引器在共衕池中的份額也會增加相衕的百分比。

也就是説，無論是大型索引器還是小型索引器，如果索引器的資本（stakeRatio）和勞動力（feeRatio）貢獻衕時增加20%，那麽其在獎勵池中的份額也將增加20% %;如果兩個投入都增加 35%，則産出也將增加 35%。

因此，大型索引器不會僅僅因爲其規模大而穫得不成比例的獎勵，反之亦然。此功能還消除了參與者通過聚合或分解錢包來操縱繫統的可能性。

回歸規模？ 藝術創作者 穩定擴散。

爲了完成這個圖，當指數之和 > 1 時，我們會得到規模收益遞增。這種情況髮生在某些具有壟斷傾曏的行業（例如大多數電力市場）。當指數之和 < 1 時，我們得到規模收益遞減。在無需信任的環境中，這兩種設置都可以被利用。因此，該圖假設規模收益恆定（指數之和 = 1）。

充分理解該機製需要一些基本微積分背景。你可以看看數學在本講稿中 在“返回規模”部分下。 （科特雷爾，2019）

但α到底意味著什麽呢？我們可以將其視爲勞動力（查詢費用）占總産出的份額。 (1-α) 是資本（GRT 質押）的份額。換句話説，在給定的時代，勞動力有權穫得 α 的手續費收入，而資本（GRT 質押）有權穫得 (1-α)。

如果我們展望未來，假設市場保持均衡，將會出現資本（GRT 質押）所帶來的費用收入流。 GRT 所有者的價值可以從這種貼現現值分析中得出。假設協議查詢費用的貼現現值總額爲 X，資本價值爲 (1-α) * X。這類似於我們在公司財務中的情況：公司的價值是其未來現金的貼現現值流量（貼現現金流，或 DCF）。

索引需要工作。藝術創作者 穩定擴散。

換句話説，查詢費用是顯式協議“收入”，而質押/信令是隱式協議“收入”。衕樣，鑒於 GRT 是一種實用代幣，這是一個有缺陷的類比。

DCF的好處是我們可以用傳統的估值指標做一些公允價值分析。我們可以分析 The Graph 潛在服務的市場規模（提示：不僅僅是區塊鏈索引），假設 The Graph 協議的市場結構和市場份額，應用協議保證金 (1-α) 併使用一定的折扣率以穫得終值。然而，我們必鬚保持謹慎，因爲該分析假設市場處於Cobb-Douglas最優質押強度所預期的均衡狀態。它在當前市場上不起作用，因爲大量代幣持有者不參與網絡。

我們甚至可以更進一步，思考如何在傳統的公司估值背景下應用貼現現金流分析。每個時期的現金流量，扣除支出後，就是公司捕穫的現金流量。公司未捕穫的現金流流曏其他生産要素（工資、供應商等）。公司保留的總收入占公司總收入的百分比就是公司的利潤率。由於Cobb-Douglas繫數 α 決定了每個時期的資本在産出（營收）中所占的份額，因此從損益錶的角度來看，它決定了公司的利潤率。

換句話説，在 The Graph 的設置中，stakeRatio 的繫數 (1-α) 是協議事實上的保證金，借用了會計學的語言。

首都。 藝術創作者 穩定擴散。

目前，α繫數評估爲0.77，在智能合約中計算如下：

有關實時信息，請參閲 alphaNumerator 和 alphaDenominator，網址爲以太掃描。這基本上意味著對於索引器來説，GRT 質押預計將捕穫查詢費用值的 23% (= 1 - 0.77)。

索引器辦公時間 #73 對該功能進行了非常詳細的討論。社區還有Desmos 上提供的繪圖工具。

第 5 部分：優化Cobb-Douglas函數

優化框架仍有大量工作要做。例如，該函數意味著對市場參與者貢獻資本時進行覆雜的博弈論分析（他們必鬚相對於其他市場參與者貢獻最佳金額）。參與者因不正確玩游戲而受到處罰。然而，這就是理論游戲與人類行爲學的結合。游戲的覆雜性阻礙了玩家按照預期的方式進行游戲。

此外，該協議目前曏索引器髮放通脹獎勵。在協議髮展的現階段，獎勵遠大於查詢費用。當然，索引器正在優化其行爲以實現通脹獎勵，而不是查詢費用回扣池。在查詢費用市場的早期階段，我們如何適當調整激勵措施？

此外，Cobb-Douglas函數的核心是回歸分析。我們必鬚查看經驗數據來確定 α 的值。當查詢費用市場足夠大併提供更相關的時間序列數據集時，就可以完成此操作。

最後，投機者參與查詢費用市場。經濟學教授 Sockin 和 Xiong 指出，投機者的存在可能會導緻公用事業代幣經濟市場均衡的崩潰（Sockin 和 Xiong 2020）。用戶可能會因爲投機者的參與而被排擠。考慮到投機者的存在，我們應該如何設計一個更好的市場？

投機者擾亂了總體均衡。 藝術創作者 穩定擴散。

開放構建（集市方法）的部分好處是，我們可以從廣泛的人群中穫得意見，併且每個人都爲協議的開髮做出貢獻。我認爲代幣經濟學正處於市場的中間，就像堆棧中的任何部分一樣。通過思考原語的歷史併思考其用例和局限性，我們共衕爲知識庫做出貢獻，併有可能推動協議曏前髮展。我邀請大家挑戰和討論這個原語。

在集市上建造一些東西。 藝術創作者 穩定擴散。

藝術品

這些藝術品歸功於以下開源人工智能項目：

• InvokeAI穩定擴散工具包 （調用AI nd），
• Hugging Face 上托管的 CompVis/stable-diffusion-v1-4 檢查點 （Rombach 等人 2022；慕尼黑路德維希馬剋西米利安大學的 CompVis），
• Hugging Face 上托管的 runwayml/stable-diffusion-v1-5 檢查點 （Rombach 等人 2022；跑道研究），
• LAION-5BN 開放數據集，一個包含 50 億個圖像文本對的免費數據集（Beaumont 2022）；萊昂美學，LAION-5BN 的子集（Schuhmann 2022）。

資源

班代利、阿維、威爾·沃倫、吳偉傑和彼得·蔡茨。 2019。“0x 協議中的協議費用和流動性激勵。” 0x 協議工作文件。訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://gov.0x.org/t/research-on-protocol-fees-and-liquidity-incentives/340。

巴馬特、阿裡爾等人。日期不詳“圖協議合約 - LibCobbDouglas。” GitHub。訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://github.com/graphprotocol/contracts/blob/dev/contracts/stake/libs/Cobbs.sol。

巴馬特、阿裡爾和大衛·卡普斯特。日期不詳“圖協議合約 - 回扣。” 2022.GitHub。訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://github.com/graphprotocol/contracts/blob/dev/contracts/stake/libs/Rebates.sol。

博蒙特，羅曼。 2022 年。“LAION-5B：開放大規模多模態數據集的新時代 |萊昂。”萊昂.ai。訪問日期：2022 年 11 月 5 日https://laion.ai/blog/laion-5b/。

‌‌比德爾，傑夫。 2021。通過回歸取得進展：經驗Cobb-Douglas生産函數的生命故事。英國劍橋；紐約州紐約：劍橋大學出版社。

比德爾、傑夫. 2012.“回顧：Cobb-Douglas回歸的介紹。”經濟展望雜誌 26，第 1 期。 2（五月）：223-36。https://doi.org/10.1257/jep.26.2.223。

科特雷爾、阿林. 2019。“Cobb-Douglas生産函數。”訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://users.wfu.edu/cottrell/ecn207/cobb-douglas.pdf。

“Desmos |繪圖計算器 |無標題圖。”日期不詳鎖骨。訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://www.desmos.com/calculator/exrkmlfmr4。

道格拉斯、保羅和查爾斯·科布。 1928.“生産理論”。 《美國經濟評論》，3 月，第 18 卷，第 1 期，增刊：139-65。

Etherscan.io。日期不詳“圖錶：代理 2 |地址 0xF55041E37E12cD407ad00CE2910B8269B01263b9 |以太掃描。”以太坊 (ETH) 區塊鏈瀏覽器。訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://etherscan.io/address/0xF55041E37E12cD407ad00CE2910B8269B01263b9#readProxyContract

金翅雀。 2022 年。“GIP-13 代幣經濟學更新第一階段：會員金庫。”金翅雀治理論罈。 2022 年 6 月 7 日。訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://gov.goldfinch.finance/t/gip-13-tokenomics-update-phase-1-membership-vaults/996。

索引器辦公時間。 2022.“索引器辦公時間#73。”訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://www.youtube.com/watch?v=cc0o7AiFUpA&t=2099s。

調用人工智能。日期不詳“調用人工智能。” GitHub。訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://github.com/invoke-ai。

馬林沃，埃德蒙。 2003 年。“剋努特·威剋塞爾對資本理論的遺産。”斯堪的納維亞經濟學雜誌 105，no。 4（12 月）：507-25。https://doi.org/10.1111/j.0347-0520.2003.00001.x。

拉米雷斯、布蘭登. 2019 年。“圖網絡深度剖析 - 第 2 部分。”圖博客。訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://thegraph.com/blog/the-graph-network-in-depth-part-2/。

‌Rombach、Robin、Andreas Blattmann、Dominik Lorenz、Patrick Esser 和 Björn Ommer。 2022.“具有潛在擴散模型的高分辨率圖像合成。” ARXIV。訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://arxiv.org/abs/2112.10752v2。

Samuelson, Paul A. 1979。“保羅·道格拉斯對生産函數和邊際生産率的衡量”。政治經濟學雜誌 87，第 1 期。 5，第 1 部分（十月）：923–39。https://doi.org/10.1086/260806。

舒曼，剋裡斯托弗。 2022.“LAION美學|萊昂。”萊昂.ai。訪問日期：2022 年 11 月 7 日。https://laion.ai/blog/laion-aesthetics/。

索金、邁剋爾和熊偉。 2020。“加密貨幣模型。” NBER 工作文件第 26816 號。訪問日期：2022 年 10 月 22 日。http://www.nber.org/papers/w26816。

蔡茨、彼得. 2019 年。“0x 治理、費用和流動性回扣。” www.youtube.com。訪問日期：2022 年 10 月 22 日。https://www.youtube.com/watch?v=s2wlzlQxd5E。

聲明：

1. 本文轉載自[edgeandnode]，著作權歸屬原作者[Max Tang]，如對轉載有異議，請聯繫Gate Learn團隊，團隊會根據相關流程盡速處理。
2. 免責聲明：本文所錶達的觀點和意見僅代錶作者個人觀點，不構成任何投資建議。
3. 文章其他語言版本由Gate Learn團隊翻譯， 在未提及Gate.io的情況下不得覆製、傳播或抄襲經翻譯文章。